小學數(shù)學教案錦集【7篇】
在教學工作者實際的教學活動中，編寫教案是必不可少的，教案有助于學生理解并掌握系統(tǒng)的知識。來參考自己需要的教案吧！下面是小編為大家整理的小學數(shù)學教案7篇，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
小學數(shù)學教案 篇1
第一單元位置與方向
認識東、南、西、北方向
教學目標：
1．通過生活情境和學生的生活經(jīng)驗，讓學生辨認東、南、西、北四個方向，知道地圖上東、南、西、北四個方向。
2．在東、南、西、北中，給定一個方向（東、南、西或北）辨認其余三個方向，并能用這些詞語描繪物體所在的方向。
3、借助現(xiàn)實的數(shù)學活動，培養(yǎng)學生辨認方向的意識，發(fā)展空間觀念，體驗數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系。教學重難點：
會在實景中辨認東、南、西、北，并能運用這些詞語來描繪物體所在的方向；知道地圖上的方向。
教學過程
一、兒歌鋪墊，引出新課
同學們,你們會背有關東、南、西、北方向的兒歌嗎?
讀了這首兒歌，你們能辨認東、南、西、北四個方向嗎？這節(jié)課我們一起來探究這個問題。（板書課題：認識東、南、西、北方向）
二．在生活情境中，探索、體驗新知
1、以4人小組為單位，根據(jù)兒歌讓學生在學校操場上辨認東、南、西、北方向。
2、生觀察東、南、西、北四個方向都有什么建筑物？
3、到教室，請各小組的記錄紙貼在黑板上，匯報交流各種不同的方法，上方定為什么方向，為什么這樣定？
4、學生討論各種不同方法后，教師講解地圖上通常的'方向：上北、下南、左西、右東。
引導學生按地圖的記錄方式，重新整理自己的記錄，完成校園示意圖。再結合示意圖用“東、南、西、北”說一說各種景物所在的位置。
操場
教學樓
北
三．分層練習，鞏固新知
1、說一說教室里東、南、西、北各有什么？
2、用東、南、西、北這些詞語說一說你座位周圍同學所在的方向。
3、你說我做
4、合作完成教科書練習一的第2題。
四．課堂總結
這節(jié)課你有什么收獲？
認識東、南、西、北方向
教學目標：
1．通過生活情境和學生的生活經(jīng)驗，讓學生辨認東、南、西、北四個方向，知道地圖上東、南、西、北四個方向。
2．使學生會看簡單的路線圖（四個方向），并能描述行走的路線。
3、借助現(xiàn)實的數(shù)學活動，培養(yǎng)學生辨認方向的意識，發(fā)展空間觀念，體驗數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系。教學重難點：
會在圖上辨認東、南、西、北，并能運用這些詞語來描繪物體所在的方向；能簡單的用四個方向描述行走路線。
小學數(shù)學教案 篇2
設計說明
“測量不規(guī)則物體的體積”這部分內(nèi)容的安排，既有助于學生進一步理解體積的意義，又能幫助學生提高解決問題的能力。根據(jù)本課時內(nèi)容的特點，我緊緊圍繞體積的意義設計了一系列的數(shù)學活動。
在新知的探究過程中，先引導學生設計測量方案，再進行實際測量。鼓勵學生動手操作、自主探究，不斷為學生創(chuàng)造成功的機會，讓學生在動手、動口、動腦的過程中，多次體驗成功的喜悅，從而獲得更加強烈的學習欲望。同時，在教學過程中，讓學生發(fā)現(xiàn)不規(guī)則物體的體積必須轉(zhuǎn)化成可測量的水的體積，即把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，使學生進一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法在數(shù)學學習中的重要性。
課前準備
教師準備
PPT課件
學生準備
有刻度的量杯、兩個長方體容器、水、石塊、直尺
教學過程
復習舊知，提出問題
1、復習規(guī)則物體體積的計算方法。
�。▽W生交流答案，并說出計算過程）
2、創(chuàng)設情境，引出課題。
�。�1）提問：（課件出示石塊的圖片）它和上面兩個物體有什么不同呢？（形狀不規(guī)則）你能用公式計算出石塊的體積嗎？為什么？（不能直接用公式計算，因為石塊是形狀不規(guī)則的物體）
�。�2）引入新課：今天這節(jié)課，我們就一起來研究像石塊這樣不規(guī)則物體體積的測量方法。（板書課題：有趣的測量）
設計意圖：先復習舊知，喚起學生心里有關體積的知識，再出示測量不規(guī)則物體體積的問題，引發(fā)學生思考，為新課的學習創(chuàng)設積極的心理狀態(tài)。
自主探究，實驗感悟
1、啟發(fā)引導。
�。�1）什么是石塊的體積？（石塊所占空間的大�。�
�。�2）出示長方體容器、水、量杯等測量工具。
師：能不能利用這些工具想辦法測量出石塊的體積呢？
2、設計測量方案。
（學生先獨立思考，再小組討論，設計測量方案，然后交流）
3、匯報測量方案。
學生匯報時教師要適時追問：把石塊放入裝有水的容器中，水面為什么會上升？增加的那部分水的體積與石塊的體積有什么關系？為什么？還有其他的測量方案嗎？
設計意圖：實驗前，教師為學生創(chuàng)設自主學習的空間，先讓學生獨立思考，每個人都產(chǎn)生自己的想法后，再交流。在交流、討論、思考中明確測量方案，滿足學生的不同需要，為后面的實驗打下基礎，避免實驗的盲目性。
4、動手操作，實驗探究。
學生以小組為單位，選擇一種你們喜歡的方案，動手測量、計算出該石塊的體積。
�。�1）讓學生明確實驗要求。（課件出示）
�、賹嶒炃埃好鞔_測量方案及組員分工。
�、趯嶒灂r：輕聲交流，測量數(shù)據(jù)要科學、準確，填好報告單。
�、蹖嶒灪螅赫斫Y論，回顧反思。
�。�2）學生小組合作，動手實驗，填寫報告單。
（3）交流匯報，實驗演示。
5、歸納實驗方法。
方法一：在長方體的`容器里放一定量的水，量出水面的高度后，再把石塊完全浸沒在水中（水未溢出），計算出升高的那部分水的體積，就是石塊的體積。
方法二：將石塊放入盛滿水的容器中，并將溢出的水倒入量杯中，然后直接讀出水的體積，水的體積就是石塊的體積。
方法三：把石塊放入一個長方體容器中，往里面倒水，石塊完全浸沒后，再把石塊取出，計算出下降的那部分水的體積，就是石塊的體積。
方法四：把石塊先放入容器中，往容器里加入水，直到水面剛剛高過石塊，測量水的高度，把石塊取出，再次測量水的高度，用容器的底面積乘兩次的高度差就是石塊的體積。
小學數(shù)學教案 篇3
教學目標
(一)使學生掌握連乘應用題的`數(shù)量關系，學會能用兩種方法正確地解答．
(二)通過分析解答應用題，培養(yǎng)學生分析推理的能力和靈活解答應用題的能力．
(三)培養(yǎng)學生認真審題，初步滲透不變中有變的辯證唯物主義思想．
教學重點和難點
重點：分析數(shù)量關系，用兩種方法解答．
難點：第二種解法．
教學過程設計
(一)復習準備
選擇合適的條件和問題，再算出來．
(1)每層有4個教室．
(2)每個教室有6盞燈．
(3)每箱“可樂”有12瓶．
A．12個教室裝幾盞燈？
B．4箱“可樂”共多少瓶？
C．3層有多少個教室？
學生回答后，老師提問．
這三道題為什么都用乘法計算．
(因為都是求幾個幾是多少)
小學數(shù)學教案 篇4
詳細介紹：
教學建議
教材分析
這部分內(nèi)容主要學習克和千克兩個重量單位，是后面學習＂噸的認識＂的前提和基礎．雖然學生在生活中接觸過重量問題，但重量單位還是第一次接觸，還缺乏認識，而且重量單位不像長度單位那樣直觀、具體，不能靠觀察得到，因此使學生初步建立起重量的觀念既是教學中的重點，也是教學中的難點．
教材首先通過讓學生掂數(shù)學教科書和語文教科書，用天平稱物體的重量，給學生建立重量的初步觀念，使學生知道比較東西的輕重不能靠眼睛觀察，必須用手掂一掂或用秤稱一稱．
接下去教材分別說明稱比較輕的物品的重量，常用克做單位，并通過著重給學生建立1克的重量觀念；稱一般物品的重量，常用千克做單位，著重給學生建立1千克的重量觀念．
為了使學生初步建立1克和1千克的重量觀念，教材安排了一些學生比較熟悉的例子，通過讓學生用手掂一掂、稱一稱等實際活動，使學生感受到1克和1千克大約有多重，從而初步形成1克和1千克的重量觀念．
教法建議
認識重量單位克與千克，這是學生第一次接觸的知識．雖然在生活中他們接觸過重量問題，但對重量單位還缺乏認識，重量單位不像長度單位那樣直觀、具體，不能靠觀察得到，所以在讓學生學習這部分知識時，安排了以下三個層次：
1．在復習準備過程，通過讓學生判斷語文書和數(shù)學書誰重誰輕，學生用手掂出語文書重數(shù)學書輕，老師進一步追問：語文書有多重，數(shù)學書有多重，語文書比數(shù)學書重多少等問題，學生答不出，引出重量單位，從而激發(fā)了學生的求知欲．
2．在學習新課過程中，重視學生的動手操作，讓學生掂一掂2分硬幣和2袋精鹽，感受1克和1千克的實際重量，建立1克和1千克的重量觀念．為了使學生比較具體地感知克和千克之間的進率，教師可拿出課前準備好的1克、10克、100克、1000克大米，讓學生看一看，掂一掂．
教科書中沒有說明天平的使用方法，教學時可以給予適當?shù)恼f明．除天平之外，教師還應介紹其他的稱量工具，如臺秤、電子秤等，并簡單說明它們的用法．
3．在鞏固反饋過程中，重視用多種多樣的練習，區(qū)分克與千克．
本節(jié)課建議采用分組授課，這樣便于準備學具，使每個同學都參與到數(shù)學活動中來，同時可以體現(xiàn)團結合作的精神．
課題一：克的初步認識
教學目的
使學生初步認識重量單位克，初步建立1克的重量觀念．
教具準備
天平（自制天平）、兩個蘋果、一個梨（兩個蘋果一樣重，梨比蘋果重些．）一個2分幣、一些黃豆、15個圖釘．學生每人準備一個蘋果，一個梨和一個2分幣．
教學過程
1．新課
教師讓學生拿出一個蘋果和一個梨（或播放視頻＂誰重誰輕＂下載），掂一掂．再提問：哪個重一些？（學生意見不一．）
教師：究竟哪個重些，哪個輕些，光靠手掂很難說準確，老師為你們請來了一位裁判來幫忙（出示天平），這位公平的裁判就叫做天平．
�。ǔ鍪咎炱綀D或播放視頻＂天平的結構＂下載）邊指點邊講解：天平像一位機器人，它長著一對長長的手臂，兩只大手托著兩只盤子，可以上下擺動，頭上長著一根指針．當兩邊盤子里物品一樣重時，指針指向中間的'刻度線；如果左邊物品的重量比右邊重，指針就向左偏；如果右邊物品的重量比較重，指針就向右偏．
教師演示（或播放視頻＂天平的使用＂下載）：先拿出兩個蘋果，分別放在天平左右兩個盤里，讓學生觀察天平指針的情況，并指出：當指針在標尺中間時，天平兩端平衡，表示兩個蘋果重量相等．
教師指出：天平還可以用來稱東西的重量．拿出一個2分幣，提問：
這個2分幣有多重？說明表示比較輕的物品的重量的大小一般用克做單位．
板書：克．
1克有多重？
向?qū)W生介紹1克的砝碼．并說明用天平稱東西重量時需要用砝碼．一般左邊盤內(nèi)放置所稱的東西，右邊盤內(nèi)放置砝碼．
教師將一個2分幣放在左邊盤內(nèi)，1克砝碼放在右邊盤內(nèi)，讓學生觀察天平上指針的情況（或播放視頻＂稱硬幣＂下載）．
提問：你們發(fā)現(xiàn)了什么？
教師總結學生的回答指出，指針指在標尺中間，天平平衡，表示這個2分幣與1克砝碼同樣重．
那么這個2分幣重多少克？
讓學生拿出自己的2分幣，用手掂一掂．
現(xiàn)在我們來稱出1克黃豆．
教師從天平左邊的盤子里取出2分幣放入黃豆，直至天平上的指針指在標尺的中間，天平平衡．
提問：這些黃豆重多少？
請一位學生來數(shù)一數(shù)1克黃豆有多少粒．
接著把1克黃豆讓學生分組順次傳遞，用手掂一掂．
教師拿出15個圖釘：這里有15個圖釘，我們來看一看，它們有多重．
教師在天平左邊的盤子里放入圖釘，在右邊的盤子里放砝碼，從1克、2克、5克放到10克，使天平平衡．
15個圖釘有多重？
接著把10克圖釘讓學生分組順次傳遞，用手掂一掂．
教師按照稱圖釘?shù)姆椒�，稱1支粉筆、1本數(shù)學教科書、1瓶墨水、1把小刀，也可稱其他物品如乒乓球、鉛筆等．有些物品稱完之后，仍讓學生掂一掂，如數(shù)學教科書．
2．小結：今天我們學習了重量單位克．了解了用天平稱東西的方法，還親自掂了掂1克東西的實際重量．
課堂練習
1．練習十一第2、3題（學生做第3題時，要提示學生：式題中有單位名稱的，得數(shù)也應寫單位名稱）．
2．一支鉛筆重7克，8支這樣的鉛筆重多少克？
3．37克45克36克6
60克-28克8克4
課后作業(yè)
練習十一第1題．讓學生向家長或售貨員了解題中物品的重量后把得數(shù)填在練習中
小學數(shù)學教案 篇5
一、復習引入課題：
1、上學期我們一起認識了四個描述方向的方位詞語，誰來說說是哪幾個詞?
學生說一說。
2、在生活中我們又是怎樣來辨認這些方向的呢?
學生做一做。
3、在地圖上我們又是怎樣確定位置的呢?
教師課件展示四個方向，學生看一看。
4、今天我們繼續(xù)學習“辨認方向”。
二、探究新知：
1、教師引語：同學們真棒!為了獎勵你們，老師準備帶大家到笑笑的學校去參觀。
教師課件展示學校及周圍建筑物圖。
2、請同學們仔細觀察畫面，從畫面中你獲得了哪些信息?請同學們先獨立思考一下，然后與同桌交流一下，最后老師要請同學們向全班匯報。
3、學生匯報觀察到的信息。教師將匯報到的建筑物貼片貼在黑板上。
4、怎樣描述更清楚一些呢?
教師將另外的四個方向統(tǒng)一為：東南、東北、西南、西北。
5、請同學們用描述方向的八個詞來說一說笑笑學校四周的建筑物。
教師課件展示題，讓學生說一說。
三、制作方向板：
1、教師展示方向板，學生觀看。
2、教師指導方向板的制作方法：拿出一張正方形紙，先上下對折，再左右對折，最后把紙攤開后再對角對折。在出現(xiàn)的八條折痕上標出八個方向。
3、同學交流誰的方向板做得好，誰的需要改進。
四、利用方向板：
1、在教室里辨認八個方向。
2、坐在座位上，說一說你的東南、東北、西南、西北方向分別是哪位同學。
五、實踐綜合應用：
1、教師課件展示中國地圖，學生觀察。
2、請學生在地圖上找出北京、吉林、上海、四川和自己的家鄉(xiāng)。
3、完成書上第23頁的第1題。
4、學生看書第23頁第2題，說一說圖中建筑物的方向。
5、教師課件展示圖片，學生做游戲：說一說小烏龜?shù)闹車臄?shù)字各在小烏龜?shù)氖裁捶较颉?/p>
6、把學生帶到操場上，讓學生說一說校園內(nèi)各方向分別有些什么。
六、全課小結：
1、除了今天在課堂上學習的關于方向的例子，你們在生活中還了解到哪些和方向有關的知識或者例子嗎?
2、說說你在今天的課堂上感受最深的是什么?你認為自己哪些地方表現(xiàn)最棒?還有哪些方面需要再努力。
七、作業(yè)：
請同學們根據(jù)今天學習的知識和自己每天放學回家所走的路線，設計出自己的回家路線圖。
教學反思：
1、我以“參觀笑笑的學�！睘橐�，以解決“笑笑學校的'四周有哪些建筑”為導線，讓學生自主探究、主動學習，并引導學生利用所學知識解決實際問題，形成能力。
2、教學設計時我積極關注學生的認知背景和生活經(jīng)驗，在教學中創(chuàng)設了能引導學生主動參與的情境，引起學生高度的興趣和注意力。
3、為了對生活中的數(shù)學進行提升、建模，抽象出數(shù)學的規(guī)律、方法，我在體驗環(huán)節(jié)中設計了一個制作方向板的練習。
4、在“說說你的周圍什么方向上有哪些同學”的過程中，我請相鄰的的同學說方向，從而讓學生感知方向的相對性，知道以不同的事物為中心，同一事物會處在不同的方向上。
小學數(shù)學教案 篇6
教學內(nèi)容：比例的意義、基本性質(zhì)，比例各部分名稱，組比例。
教學目標：
1. 使學生理解比例的意義，認識比例各部分的名稱。
2. 能運用比例的意義判斷兩個比能否組成比例，并會組比例。理解并掌握比例的基本性質(zhì)。
教學重點：比例的意義和基本性質(zhì)。
教學難點：理解比例的基本性質(zhì)。
教學過程：
一、 復習
�。�、 提問：什么是比？一輛汽車4小時行160千米，說出路程和時間的比。
２、 求下面各比的比值，哪些比的比值相等？
12:16 : 4.5:2.7 10:6
二、 新授
提示課題：這節(jié)課我們在過去學過比的知識的基礎上，學一個的知識：比例的意義和基本性質(zhì)。
１、 比例的意義
出示例１：一輛汽車第一次2小時行駛80千米，第二次5小時行駛200千米。列表如下：
時間（時） ２ ５
路程（千米） ８０ ２００
從上不中可以看到，這輛汽車：
第一次所行臺的路程和時間的比是＿＿＿＿；
第二次所行駛的'路程和時間的比是＿＿＿＿；
這兩個比的比值各是多少？它們有什么關系？
�。ǎ保� 根據(jù)學生回答，師板書結果后，師指出：這兩個比的比值都是40，所以這兩個比是相等的，可以用等號將兩個比連起來寫成下面的等式。
板書：80:2=200:5 或 ＝
師：這樣的式子，我們給它一個名字叫做比例。
�。ǎ玻� 口答
�。痢褟土暤冢差}中兩個比值相等的比用等號連起來。
Ｂ、用等號連接起來的式子叫做什么？
�。谩⒏鶕�(jù)剛才的回答，你能說出什么叫比例嗎？
�。ǎ常� 小結。
�。�、表示兩個比相等的式子叫做比例，兩個比的比值相等也就是這兩個比相等。
�。�、要判斷兩個比能否組成比例，可以看這兩個比的比值是否相等。比值相等的兩個比可以組成比例，比值不相等的兩個比就不能組成比例。
�。ǎ矗� 練習，課本第１０頁做一做。
２、 比例的基本性質(zhì)。
（１） 比例各部分的名稱。
引導學生觀察黑板上的例題：80:2=200:5
并自學課本
提問：什么叫做比例的項？什么叫前項？什么叫后項？什么叫內(nèi)項？什么叫外項？這四項分別在等號的什么位置？
（２） 說出下面各比例的外項和內(nèi)項？
6:10=9:15 8:3=3.2:1.2 1/3:1/6=16:8
（３） 計算：上面比例中的外項積與內(nèi)項積。
�。ǎ矗� 引導學生觀察每個比例中的計算結果，發(fā)現(xiàn)這兩個乘積有怎樣的關系？
師：想一想，如果把比例寫成分數(shù)形式，等號兩端的分子分母交叉相乘的積有什么關系？
�。ǎ担┠隳艿贸鍪裁唇Y論？
三、 鞏固練習
１、 完成第2頁的做一做。
�。�、 完成第3頁的做一做第１題。
四、 總結
�。�、 比例的意義和基本性質(zhì)是什么？
�。�、 怎樣判斷兩個比能否組成比例？
五、 作業(yè)
�。薄� 完成練習四的第１－３題。
小學數(shù)學教案 篇7
數(shù)學課程標準》指出：有效的數(shù)學學習活動，不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式。通過實踐操作，充分展示和發(fā)揮學生的想象思維才能，積極主動參與探索知識的形成與發(fā)展，因此，教師必須精心組織材料，創(chuàng)造性地設計問題，為學生展開想象的翅膀創(chuàng)造條件。這不僅可以使學生的書本知識得到運用，讓知識轉(zhuǎn)化為能力，并且在實際實踐活動中發(fā)現(xiàn)問題，將推動學生自主去思考問題、探索問題。把數(shù)學知識寓教于學生身邊喜聞樂見的生活之中，體驗解決問題，應用知識策略的多樣化，讓學生的思維由課堂進入社會生活的大空間。例如：人教版數(shù)學第七冊《長方形、正方形的計算》時，我是這樣進行的：
一、復習溝通，建立聯(lián)系：（5分鐘）
檢查預習效果，學生基本上掌握了求長方形面積的計算方法。
二、自主探索，發(fā)揮想象，突出創(chuàng)新性：
師：同學們，我這里有一塊面料想做窗簾，卻不知道每塊窗簾要多大？你們有什么金點子嗎？
�。▽W習小組積極行動起來，一邊量窗子，一邊計算）
師：誰來說一說，你們的金點子是什么，好嗎？
生：老師，我們計算出這個窗子的長是2米、寬是1米，面積是2平方米，只要裁剪一塊長2米、寬1米的布料就可以了。
師：好辦法。噢，對了。我這里有一塊面積正好是2平方米的面料，我們把它安上去，看一看行不行？
（老師和一名學生用雙面膠裝上窗簾）
生：老師，窗簾布太小了，這樣不行。
生：老師，這樣太難看了，另換一塊吧。
師：是啊。我怎么沒有想到這點呢？這樣好嗎？學習小組比一比，誰是最出色的設計師，怎樣設計出最合理、最美觀的窗簾。
（一石激起千層浪，探索氣氛活躍、高昂）
師：哪一組的設計師，先來發(fā)表自己的`設計方案？
生：我們是這樣設計的，窗子長2米，寬1米；我們就裁剪一塊長2。5米，寬1。5米的布料，窗子就可以遮住了。
生：我們有不一樣的，我們設計的是兩邊拉的窗簾，每塊長2。5米，寬1。6米，這樣的窗簾比較好看。
生：我有比他們更好的設計方案，經(jīng)過測量從地面到窗子上方30厘米處，總長度是3。30米，我們就裁剪一塊長3。30米，寬1。6米的布料做窗簾，這樣的窗簾不是比他們更好看嗎？
生：我的想法跟他差不多一樣，但是我們設計的是兩開的窗簾，每塊長3。2米，寬1米，面積是3。2平方米。只要拉開兩塊窗簾卻成了一個八字形，這樣的窗簾更好看更優(yōu)雅。
師：好樣的，很有遠見，有個性。
生：老師我們這樣設計行不行？我們也是設計兩開的只不過，只不過。
師：沒關系，大方一些，同學們給他鼓勵一下好不好？
�。ㄕ坡暉崃翼懫穑�
生：老師，窗子上方的墻壁已經(jīng)變色了，經(jīng)過測量從地面到天花板長度正好是4米，在天花板下安裝一根長1。6米的不繡鋼管，再裁剪兩塊布料，每塊長4米，寬1米，面積是4平方米的窗簾，如果把整個教室都安裝上窗簾，教室就變成優(yōu)雅的客廳了，小芳家的窗簾是這樣設計的。（掌聲陣陣響起）
師：（豎起大拇指）你們真是太棒了！個個都是出色的設計師。
課后評析：
本節(jié)課學生充分展示了各自的風采，想說就說，想做說做，團結合作，大膽創(chuàng)新。開放了學生學習心態(tài)、凸現(xiàn)學生的主體性、張顯學生的個性，拓寬學生的創(chuàng)新思維，是本節(jié)教學的著重點。通過實踐活動，注重讓學生在發(fā)現(xiàn)問題、自主探索問題、自主解決問題的應用知識的過程中，把書上的知識內(nèi)化為自己的知識，并形成解決實際生活問題的能力，從而真正實現(xiàn)從學會到會學乃至會用的遷移，真正實現(xiàn)不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。